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Falls ein Faktor a mit einer Summe (b+c) multipliziert wird, also a(b+c), dann wird beim Ausmultiplizieren das Distributivgesetz angewendet.
Regel 1:
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a\cdot c\)
Beispiele:
\(5a (3b-2c) = 15ab -10ac\)
\(-3a (a-b) = -3a^2+3ab \)
\(- 10(a-b+c-d) = -10a+10b-10c+10d \)
2. Ausmultiplizieren bei "Summe mal Summe"
Wie kann ein Produkt von zwei Summen ausmultipliziert werden? Die folgende Regel hilft hierbei.
Regel 2:
Bei der Multiplikation von zwei Summen wird jeder Summand der ersten Summe mit allen Summanden der zweiten Summe multipliziert.
Beispiele:
\((a+b) \cdot(c+d) =ac+ad+bc+bd\)
\((2x+y) \cdot(5+3z) =10x+6xz+5y+3yz\)
\((-a+b) \cdot(3c+7d) =-3ac-7ad+3bd+7bd\)
\((4x-3y) \cdot(-x+6y^2+10xy) =-4x^2+24xy^2+40x^2y+3xy-18y^3-30xy^2\)
Zwei Bemerkungen:
• Die ersten drei Beispiele sind Spezialfälle der Binomischen Formeln.
• Das Resultat im letzten Beispiel kann kompakter als \(-4x^2+40x^2y+xy-18y^3-6xy^2\) geschrieben werden.
3. Ausmultiplizieren bei "Summe mal Summe mal Summe etc."
Wie kann ein Produkt von mehreren Summen ausmultipliziert werden? Das Vorgehen soll anhand zweier Beispiele mit jeweils einem Produkt von drei Termen verdeutlicht werden.
Beispiel 1:
\[(a+b) \cdot(c+d) \cdot(e+f)=(a+b) \cdot(ce+cf+de+df)\]\[=ace+acf+ade+adf +bce+bcf+bde+bdf\]
In einem ersten Schritt lassen wir den ersten Term \((a+b)\) stehen und das Produkt von \((c+d) \cdot(e+f)\) wird ausmultipliziert. In einem zweiten Schritt wird dann der erste Term \((a+b)\) mit dem Resultat des Produktes des zweiten und dritten Terms multipliziert. Alternativ hätte man auch den ersten Term mit dem zweiten Term ausmultiplizieren können und der dritte Term wäre stehen geblieben. Und danach hätte man den ausmultiplizierten Term mit dem dritten Term ausmultiplizieren können, was zum gleichen Resultat geführt hätte:
\[{(a+b) \cdot(c+d) \cdot(e+f)=(ac+ad+bc+bd) \cdot (e+f)}\]\[{=ace+ade+bce+bde+acf+adf+bcf+bdf}\]
Beispiel 2:
\[{{\left( a+b \right)}^{3}}=\left[ a+b \right]\cdot \left( a+b \right)\cdot \left( a+b \right)=\left[ a+b \right]\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)\]\[={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\]
1)
$6\left( x+y \right)=$
2)
$-4(2a+3b)=$
3)
$(4ab-b+5c)(-2d)=$
4)
$4x\left( -2x \right)\left( -x \right)3x\left( -x \right)=$
5)
$\left( x+2y \right)\left( 3x-y \right)=$
6)
$\left( 3{{x}^{2}}-xy-4{{y}^{2}} \right)\left( -{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)=$
7)
$\left( 1-a \right)\left( 5-b \right)\left( 5+b \right)=$
8)
$\left( a-xb \right)\left( c+3d \right)=$
9)
$\left( 5-3a \right)\left( 2-6b \right)=$
10)
$\left( 3a+b \right)\left( 4+3c \right)=$
Interaktive Übungsaufgaben zum Ausmultiplizieren bei "Faktor mal Summe" finden Sie unter:
www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmte11.htm
www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmte12.htm
Interaktive Übungsaufgaben zum Ausmultiplizieren bei "Summe mal Summe" finden sie unter: